teori bilangan

TEORI BILANGAN

Pengantar Teori Bilangan

  1. Himpunan Ekuivalen : Himpunan-himpunan yang anggotanya dapat dilakukan korespondensi satu-satu.

Contoh :

{a} ekuivalen dengan {b}, {a,b,c} ekuivalen

dengan {1,2,3} dst..

  1. Bilangan Kardinal : Bilangan yang menunjukkan banyaknya anggota suatu himpunan, biasanya dituliskan dengan lambang “n”.

Contoh :

A = {a}, bilangan kardinal = 1 atau  n(A) = 1

G = {a,b}, bilangan kardinal = 2 atau  n(G) = 2

  1. Himpunan Baku : Himpunan yang anggotanya berupa lambang bilangan dan telah diurutkan dari kecil ke besar.

Contoh :

{1}, {1,2}, {1,2,3} dst

  1. Himpunan Bilangan Asli (A) : Himpunan yang anggota-anggotanya berupa bilangan asli. Jika ditulis dengan mendaftar anggotanya adalah {1,2,3,4,5,….}
  2. Himpunan Bilangan Cacah (C) : Himpunan yang anggota berupa bilangan cacah. Jika ditulis dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah {0,1,2,3,4,…}
  3. Himpunan Tak Berhingga : Himpunan yang anggotanya tak berhingga. Himpunan Bilangan Asli dan Himpunan Bilangan Cacah termasuk Himpunan Tak Berhingga.
  4. Himpunan Kosong (Ф) : Himpunan yang tidak mempunyai anggota sehingga n(Ф) = 0.

Lambang Bilangan : Suatu simbol untuk menyatakan bilangan.

Contoh :

2, 11 dan sebagainya..

Perhatian !!!!

Ilmu Bilangan yang akan kita pelajari membicarakan tentang bilangan bukan tentang lambang bilangan. Selanjutnya bilangan-bilangan cacah sembarang dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, …, m, n, … atau x, y, z.

Kesamaan Dua Buah Bilangan

Misalkan  “7” dan “4 + 3” adalah nama-nama Bilangan, sehingga 7 = 4 + 3.

Definisi 1 {kesamaan dua buah bilangan}

Dua bilangan a dan b dikatakan sama (ditulis “ a = b ”) jika dan hanya jika a dan b

menyatakan nama-nama untuk suatu bilangan.

Sifat-sifat relasi “ = “.

  1. Sifat refleksif : Untuk setiap a, a = a.
  2. Sifat Simetris : Jika a = b, maka b = a.
  3. Sifat Transitif : Jika a = b dan b = c, maka a= c

Penjumlahan Bilangan Cacah

Definisi 2 {Operasi Biner}

Suatu operasi biner pada himpunan S dinyatakan mengawankan secara tunggal

(tepat satu) setiap pasangan berurutan (a,b) anggota dari S x S dengan a * b

Catatan:

Operasi biner didefinisikan sebagai fungsi dengan domain S X S.

Sifat tertutup dalam operasi biner

Untuk setiap a, b anggota S, maka a * b anggota dalam S.

Definisi 3 {Penjumlahan Bilangan Cacah}

Jika b = n(B), k = n(K), maka b + k = n (B U K)

Contoh :

Misal B = {a,b,c,d} dan K = {i,j,k}, maka n(B) = 4 dan n(K) = 3 serta

B ∩ K = Ф maka 4 + 3 = n(B U K)= n({a,b,c,d,I,j,k}) = 7

Sifat Komutatif Gabungan Dua

Himpunan

B U K = K U B

Berdasarkan definisi Penjumlahan Bilangan Cacah dan sifat Komutatif gabungan dua himpunan dapat diturunkan :

Sifat 1 {Sifat Komutatif Penjumlahan}

Apabila b dan k bilangan-bilangan cacah, maka b + k = k + b. Buktikan!!!

Bukti :

Misalkan : B dan K adalah himpunan sedemikian hingga

B ∩ K = Ф, b = n(B), dan

k = n(K) maka n(B U K) = b + k dan

n(K U B) = k + b. {definisi 3}

B U K = K U B {sifat Komutatif Gabungan Himpunan}

Dari B U K = K U B diperoleh

n(B U K) = n(K U B), sehingga b + k = k + b

Sifat Assosiatif Gabungan Himpunan

(A U B) U C = A U (B U C)

Berdasarkan definisi penjumlahan bilangan cacah dan sifat asosiasi gabungan

himpunan dapat diturunkan :

Sifat 2 {Sifat Asosiatif Penjumlahan bilangan

Cacah}

Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan cacah maka (a + b) + c = a + (b + c).

Buktikan!!!

Bukti :

Misalkan :

A, B, dan C adalah himpunan

sedemikian hingga a = n(A),

b = n(B), c = n(C),  A Ո B = ᴓ, B Ո C = ᴓ, dan

A ∩ B ∩ C = Ф maka

n((A U B) U C) = (a + b) + c dan

n(A U (B U C)) = a + (b + c) {definisi 3}

(A U B) U C = A U (B U C)  {sifat asosiatif gabungan himpunan}

Dari (A U B) U C = A U (B U C) diperoleh

n((A U B) U C) = n(A U (B U C)) sehingga

(a + b) + c  = a + (b + c)

 

 

Definisi 4 {Aturan Penjumlahan Bilangan cacah}

Jika a, b, c, d dan e adalah Bilangan-bilangan cacah maka berlaku :

  1. a + b + c = (a + b) + c
  2. a + b + c + d = {(a + b) + c} + d
  3. a + b + c + d + e =

[{(a + b) + c} + d] + e dst

Contoh Soal :

  1. Jika a, b, c, d, e adalah bilangan-bilangan cacah, buktikan bahwa a + b + c + d + e = a + (b + c) + (d + e)!
  2. Jika a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan cacah, maka a + b + c + d + e = d + c + e + b + a. Buktikanlah!
  1. Jika a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan cacah, buktikan bahwa a + (b + c) + (d + e) = (b + d) + (a + e)

Jawaban :

  1. a + b + c + d + e  {definisi 4 no.3}

= [{(a + b) + c} + d] + e  {Sifat Asosiatif}

= [ {a + (b + c)} + d] + e {Sifat Asosiatif}

= {a + (b + c)} + (d + e)  {definisi 4 no. 2}

= a + (b + c) + (d + e)

Definisi 5 {Perkalian Bilangan Cacah}

Jika p dan q bilangan-bilangan cacah sedemikian hingga p = n(P) dan q = n(Q),

maka operasi biner p x q adalah n(P x Q). p x q disebut hasil kali p dan q masing-masing disebut faktor

Dalam teori himpunan persilangan dua buah himpunan P dan Q, didefinisikan sbb:
P x Q = {(a,b) I a
Є P dan  b Є Q}

Sekarang mari kita buktikan pekalian 0 x … =

Misalkan :

P sembarang himpunan

Ф adalah himpunan kosong

Maka P X Ф = 0. karena himpunan kosong tidak mempunyai anggota. Sehingga

p x 0 = n(P X Ф) = 0. oleh sebab itu, setiap bilangan cacah jika dikalikan nol hasilnya nol.

Bagaimana dengan perkalian 1 x 2?

Misalkan :

Himpunan P dan Q sedemikian hingga n(P) = p dan n(Q) = 1.

p x 1 = n(P X Q) = n(P) = p    {definisi 5}

Sehingga setiap bilangan cacah jika dikalikan dengan 1 maka hasilnya adalah bilangan cacah itu sendiri dan selanjutnya 1 disebut elemen identitas

Himpunan P X Q ekuivalen dengan himpunan Q X P, sehingga n(P X Q) = n(Q X P)

Berdasarkan pernyataan di atas dan definisi

5 dapat diturunkan :

Sifat 3 {Sifat Komutatif Perkalian}

Jika p dan q bilangan-bilangan cacah,maka p x q = q x p

Buktikan!!!

Bukti :

Jika p dan q adalah bilangan cacah sedemikian hingga

p = n(P) dan q = n(Q) maka

p x q = n(P X Q) dan q x p = n(Q x P)    {definisi 5}

P X Q = Q X P maka n(P X Q) = n(Q X P)

sehingga p x q = q x p

Definisi 6 {Aturan Perkalian Bilangan Cacah}

Jika p, q, r, s dan t adalah bilangan-bilangan cacah maka berlaku :

  1. p x q x r = (p x q) x r
  2. p x q x r x s = {(p x q) x r} x s
  3. p x q x r x s x t = [{(p x q) x r} x s] x t  dst….

Misalkan p, q, r, s, t dan u adalah bilangan-bilangan cacah, bagaimanakah aturan perkaliannya?

Jawab :

p x q x r x s x t x u = I[{(p x q) x r} x s] x tI x u

Pada persilangan himpunan berlaku (P X Q) X R = P X (Q X R) dan n((P X Q) x R) = n(P X (Q X R))

Berdasarkan pernyataan di atas dan definisi 6 dapat diturunkan :

Sifat 4 {Sifat Asosiatif Perkalian}

Jika p, q, dan r bilangan-bilangan cacah, maka (p x q) x r = p x (q x r)

Buktikan!!!

Bukti :

Jika p, q dan r adalah bilangan-bilangan cacah sedemikian sehingga p = n(P),

q = n(Q) dan  r = n(R), maka

(p x q) x r = n((P X Q) X R) dan

p x (q x r) = n(P X (Q X R)) {definisi 5}

Karena (P X Q) X R ≡ P X (Q X R) maka

n((P X Q) X R) = n(P x (Q X R)) sehingga

(p x q) x r = p x (q x r)

Contoh :

  1. Buktikan bahwa, a x b x c x d x e = (a x b) x c x (d x e)!
  2. a x b x c x d x e = d x a x c x e x b. Buktikan!
  3. Buktikan, a x b x c x d x e = (d x c) x (a x e) x b!

Jawaban :

  1. a x b x c x d x e              Definisi 6 no. 3

= [{(a x b) x c} x d] x e     Sifat Asosiatif

= {(a x b) x c} x (d x e)     Definisi 6

= (a x b) x c x (d x e)

Pada himpunan berlaku sifat distributif

 

persilangan terhadap gabungan

Yaitu : P X (Q U R) = (P X Q) U (P X R)

Dengan P, Q, dan R adalah sebarang himpunan. Berdasarkan definisi 5 dan sifat himpunan di atas maka dapat diturunkan :

Sifat 5 {sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan}

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Buktikan!!!

Bukti :

Anggap a, b, c adalah bilangan cacah  sedemikian hingga a = n(A), b = n(B) dan

c = n(C) dengan (B ∩ C) = Ф

A X (B U C) = (A X B) U (A X C)

n(A x (B U C)) = n((A x B) U (A X C))    {def 5 & def 3}

n(A) x n(B U C) = n(A X B) + n(A X C)   {def 5 & def 3}

n(A) x {n(B) + n(C)} = n(A) x n(B) + n(A) x n(C)

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Pengurangan Bilangan Cacah

Definisi 7 {pengurangan bilangan cacah)

Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a – b = c jika dan hanya jika a = b + c.

Pengurangan bilangan cacah juga dapat dinyatakan dalam definisi sebagai berikut:

a dan b bilangan-bilangan cacah sedemikian hingga  a = n(A) dan b = n(B)

serta A subset B maka a – b = n(A – B)

Definisi 7 dapat dinyatakan  sebagai :

a = b + (a – b)  {rumus pengurangan bilangan cacah}

Kemudian dengan sifat komutatif

penjumlahan menjadi a = (a – b) + b

Sehingga :

a disebut terkurang

b disebut pengurang

(a – b) disebut hasil pengurangan

Definisi 8: Apabila a, b dan (a – b) bilangan-bilangan

cacah, buktikan bahwa :

(a – b) + c = (a + c) – b

Bukti :

(a – b) + c = (a + c) – b dapat dipandang sebagai pengurangan, sehingga (a + c)

sebagai terkurang, b sebagai pengurang dan {(a – b) + c} sebagai hasil pengurangan. Sehingga diperoleh (a + c) = b + {(a – b) + c}

Bentuk inilah yang akan kita buktikan.

(a + c) = b + {(a – b) + c}                    Kita buktikan dari Ruas Kanan :

b + {(a – b) + c}                     {sifat asosiatif penjumlahan}

= {b + (a – b)} + c                        {rumus pengurangan}

= a + c

Contoh :

Jika a, b, c dan (a – b) bilangan-bilangan cacah, buktikan bahwa :

(a – b) + c = a – (b – c)

Sifat 6 {Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan}

Jika a, b, g dan (a – b) bilangan cacah, maka g x (a – b) = (g x a) – (g x b)

Buktikan!!

Definisi 9 {pembagian bilangan-bilangan cacah}

Jika e, f dan g bilangan-bilangan cacah, dan f tidak sama dengan nol, maka

e : f = g jika dan hanya jika e = g x f

Rumus Pembagian Bilangan Cacah

g = e : f disubtitusi ke e = g x f

Sehingga diperoleh :

e = (e : f) x fe disebut terbagi

f disebut pembagi     (e : f) disebut hasil bagi

Jawaban :

Bukti :

Anggap a x (b : c) = (a x b) : c adalah Suatu pembagian dengan :

(a x b) adalah terbagi c adalah pembagi a x (b : c) adalah hasil bagi Sehingga diperoleh, (a x b) ={a x (b : c)} x c .  Bentuk (a x b) = c x {a x (b : c)} yang akan kita buktikan

Kita buktikan dari ruas kanan :

{a x (b : c)} x c                          {sifat asosiatif perkalian}

= a x {(b : c) x c}                       {rumus pembagian}

= a x b

Contoh :

Jika a, b, (a : b) dan (a : b) : c bilangan-bilangan cacah dengan b dan c tidak sama dengan nol, buktikan Bahwa (a : b) : c = (a : c) : b!!!

Urutan Bilangan-Bilangan Cacah

Sifat 7 {penjumlahan pada kesamaan}

Jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dan a = b, maka a + c = b + c

Buktikan!!!

Untuk membuktikan sifat 7 di atas, kita akan menggunakan substitusi.

Misalkan terdapat x = 2. a + 7, dengan a = 3 Maka a dapat diganti dengan 3.

Bukti :

Karena a = b, maka a dapat disubstitusikan  ke persamaan a + c = b + c sehingga

diperoleh :

a + c = a + c

Karena penjumlahan berlaku sifat tertutup dan hasil penjumlahan bilangan cacah itu ada dan tunggal maka a + c = b + c

Sifat 8 {perkalian pada kesamaan}

Jika a, b dan c bilangan-bilangan cacah dan a = b maka a x c = b x c.

Buktikan!!!

Sifat 9: Jika a, b, c dan d bilangan-bilangan cacah

dengan a = b dan c = d, maka a + c = b + d.

Buktikan!!!

Sifat 10 {Kanselasi dari Penjumlahan}

Jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dan a + c = b + c, maka a = b.

Sifat 11 {Kanselasi Perkalian}

Jika a, b, c bilangan-bilangan cacah dan c tidak sama dengan nol serta

a x c = b x c, maka a = b

Misalkan a, b, c bilangan-bilangan cacah dan a = b, maka :

2a = 2b

a + 2b = b + 2a

a – b = 2a – 2b

1 x (a – b) = 2 x (a – b)

Definisi 10 {Relasi lebih kecil}

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, a lebih kecil dari b (a < b) jika dan hanya jika terdapat bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b.

Definisi 11 {Relasi lebih besar}

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah, a lebih besar dari b (a > b) jika dan hanya jika b < a.

Dari definisi 10 dan 11 diperoleh :

Sifat Trikotomi Bilangan Cacah :

Jika a dan b bilangan-bilangan cacah maka hanya salah satu dari tiga relasi berikut yang benar.

a < b            a = b            a > b

Berdasarkan sifat trikotomi, relasi “<“ mempunyai beberapa sifat, yaitu : Jika a, b dan c adalah bilangan cacah, maka :

  • Sifat irrefleksif, a tidak kurang dari a
  • Sifat asimetris, Jika a < b maka b tidak kurang dari a
  • Sifat transitif, jika a < b dan b < c maka a < c.

Buktikan sifat transitif di atas!!

Bukti :

a < b, ada m bilangan asli, sehingga a + m = b

b < c, ada n bilangan asli, sehingga b + n = c

Bentuk di atas dijumlahkan dan diperoleh :

(a + m) + (b + n) = b + c    {sifat komutatif}

(a + m) + (n + b) = c + b    {sifat asosiatif}

{(a + m) + n} + b = c + b    {sifat kanselasi penjumlahan}

(a + m) + n = c                  {Sifat asosiatif}

a + (m + n) = c

Misalkan m + n = t, t bil asli maka a + (m + n) = c

a + t = c, t bilangan asli sehingga a < c

Soal

Buktikan sifat-sifat di bawah ini !

  1. Jika a, b, c bilangan-bilangan cacah dan a < b maka a + c < b + c.
  2. Jika a, b, c bilangan-bilangan cacah dan a + c < b + c, maka a < b.
  3. Jika a, b, c bilangan-bilangan cacah dan c tidak sama dengan 0 serta a < b, maka a x c < b x c.

Definisi12
{invers dan identitas penjumlahan}

Jika n bilangan bulat maka n + (-n) =(-n) + n = 0. (-n) disebut dengan Invers

Penjumlahan dari n, dan 0 disebut elemen identitas dari penjumlahan.

Definisi 13

Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} dengan operasi (+) dan (x).

Untuk a, b, dan c bilangan-bilangan bulat sembarang, sifat-sifat sistem bilangan bulat adalah :

  1. Sifat tertutup penjumlahan : (a + b) dalam B.
  2. Sifat tertutup perkalian : (a x b) dalam B.
  3. Sifat Komutatif Penjumlahan : a + b = b + a.
  4. Sifat Komutatif Perkalian : a x b = b x a.
  5. Sifat Asosiatif Penjumlahan : (a + b) + c = a + (b + c).
  6. Sifat Asosiatif Perkalian : (a x b) x c = a x (b x c).
  7. Sifat Distributif kiri perkalian terhadap penjumlahan a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
  8. Sifat Distributif kanan perkalian terhadap penjumlahan (a + b) x c = (a x c) + (b x c).
  9. Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 0 dalam B sehingga, a + 0 = 0 + a = a, 0 disebut elemen identitas penjumlahan.
  10. Untuk setiap a, ada dengan tunggal elemen 1 dalam B sehingga a x 1 = 1 x a. 1 disebut elemen identitas perkalian.

Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, bagaimanakah penjumlahan (-a) + (-b)?

Misal : (-a) + (-b) = c
(-a) + (-b) = c                            {sifat 7}
(-a) + (-b) + b = c + b       {definisi 12.e}
(-a) + {(-b) + b} = c + b     {definisi 11}
(-a) + 0 = c + b                 {definisi 12.i)
(-a) = c + b                      {sifat 7}

(-a) + a = c + b + a            {definisi 12.e dan 11}

0 = c + (b + a)                  {definisi 12.c}

0 = c + (a + b)                  {sifat 7}

0 + (-(a + b)) = c + (a + b) + (-(a + b)) {definisi 12.i dan 12. e}

(-(a + b)) = c + {(a + b) + (-(a + b))} {definisi 11}

-(a + b) = c + 0                 {definisi 12.i)

-(a + b) = c

Karena c = (-a) + (-b) maka (-a) + (-b) = -(a + b).

Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah dengan a < b, bagaimanakah a + (-b)?

Misalkan a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan b < a, bagaimanakah a + (-b)?

Definisi 14
{Pengurangan Bilangan Bulat}

Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k

Sifat tertutup pengurangan bilangan bulat

Untuk setiap a dan b bilangan-bilangan bulat selalu ada tunggal bilangan bulat

(a – b).

Buktikan!!!

Pembuktian Sifat 10

Sifat 10 {Kanselasi dari Penjumlahan}

Jika a, b, dan c bilangan-bilangan cacah dan a + c = b + c, maka a = b

Bukti :

a + c = b + c                              {sifat 7}

a + c + (-c) = b + c + (-c)            {definisi 12.e}

a + {c + (-c)} = b + {c + (-c)}        {definisi 11}

a + 0 = b + 0                              {definisi 12.i

}a = b

Sifat  12 {perkalian bilangan bulat positif dan negatif}
Misalkan a dan b bilangan cacah, sehingga a bil bulat positif dan (-b) adalah bilangan bulat negatif, maka  akan diperlihatkan bahwa a . (-b) = – (ab)

Langkah 1

a x (b + (-b))                   {definisi 11}

= a x 0                            {perkalian bilangan cacah dengan nol}

= 0

Langkah 2

a x (b + (-b))                   {sifat 5}

= (a x b) + (a x (-b))

Langkah 1 dan 2 dikenakan sifat transitif sehingga diperoleh :

Langkah 3

(a x b) + (a x (-b)) = 0

Langkah 4

(a x b) + (-(a x b))           {definisi 11}

= 0

Langkah 3 dan langkah 4 dikenakan sifat transitif, sehingga diperoleh :

(a x b) + (a x (-b)) = (a x b) + (-(a x b))          {sifat 11}

a  x (-b) = -(a  x b)

Sifat 13 {perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif}

Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah, maka (-a) dan (-b) adalah bilangan-bilangan bulat negatif. Akan dibuktikan bahwa (-a) x (-b) = ab

Bukti

Langkah 1

(-a) x (b + (-b))               {definisi 11}

= (-a) x 0                         {sifat perkalian bilangan cacah dengan nol}

= 0

Langkah 2

(-a) x (b + (-b))                         {sifat  5}

= ((-a) x b) + ((-a) x (-b))

Sifat transitif dikenakan pada langkah 1 dan 2 sehingga diperoleh :

((-a) x b) + ((-a) x (-b)) = 0        {sifat 7}

(a x b) + ((-a) x b) + ((-a) x (-b)) = (a x b) + 0

{sifat 12 dan definisi 12. i}

(a x b) + (-(a x b)) + ((-a) x (-b)) = (a x b) {definisi 11}

0 + ((-a) x (-b)) = (a x b)                     {definisi 12.i}

((-a) x (-b)) = (a x b)

Contoh 1

Buktikan bahwa (-a) (b + (-c)) = ac – ab

Contoh 2

Buktikan bahwa  a ((-b) + (-c)) = (-ab) – ac

Definisi 15 {pembagian bilangan bulat}

Jika a, b, c bilangan-bilangan bulat dengan b tidak sama dengan nol a : b = c jhj a = bc

Berdasarkan definisi 14 dan sifat 13 diperoleh :

v  ab : (-a) = (-b)

v  ab : (-b) = (-a)

Berdasarkan definisi 15 dan sifat 12 diperoleh :

-(ab) : a = (-b)

-(ab) : b = (-a)

-(ab) : (-a) = b

-(ab) : (-b) = a

Rumus-rumus Pembagian Bilangan Bulat

  1. ((-a) : b) x b = (-a)
  2. (a : (-b)) x b = (-a)
  3. ((-a) : b) x (-b) = a
  4. (a : (-b)) x (-b) = a
  5. ((-a) : (-b)) x b = a
  6. ((-a) : (-b)) x (-b) = (-a)

Contoh 1

Buktikan Bahwa :

(p : (-q)) : (-r) = p : (q x r)

Bukti :

Anggap bentuk (p : (-q)) : (-r) = p : (q x r) sebagai pembagian, maka diperoleh :

p terbagi

(q x r) pembagi

(p : (-q)) : (-r) hasil pembagian

Kemudian bentuk di atas dirubah menjadi

p = {(p : (-q)) : (-r)} x (q x r)

Bentuk baru ini yang akan kita buktikan

p = {(p : (-q)) : (-r)} x (q x r)

Akan kita buktikan dari kanan ke kiri

{(p : (-q)) : (-r)} x (q x r)           {definisi 12.d}

= {(p : (-q)) : (-r)} x (r x q)         {definisi 12.f}

= (p : (-q)) : (-r) x r} x q

{rumus pembagian no. 2}

= {-(p : (-q)} x q      {sifat 12}

= -{(p : (-q) x q}      {rumus pembagian no. 2}

= – (-p)         {sifat 13}

= p

Contoh 2

Buktikan bahwa :

(a – b) : (-c) = (b : c) – (a : c)

Contoh 3

Buktikan bahwa:

Jika a, b, c, k, l, dan m  adalah bilangan bulat berlaku (-(abc)) : (-(klm)) = (a : k) (b : l) (c : m)

Sifat-sifat pada urutan bilangan bulat hampir sama dengan sifat-sifat pada urutan bilangan cacah

Ingat kembali bahwa:

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a < b jhj ada bilangan positif c sedemikian sehingga a + c = b

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a > b jhj b < a

Sifat 14

Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, maka a < b jhj a + c < b + c

BUKTIKAN!!!

Sifat 15

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka a x c < b x c

BUKTIKAN!!!

Sifat 16

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a < b

BUKTIKAN!!!


 

Sifat 17

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b maka a x c > b x c

BUKTIKAN!!!

Sifat 18

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a x c > b x c maka a < b

BUKTIKAN!!!

Soal Latihan

  1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, c bilangan bulat positif merupakan faktor bersama dari a dan b, dan a > b, maka a : c > b : c. Buktikan!!
  2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, c bilangan bulat negatif dan a > b maka (a x c) – (b x c) < 0. Buktikan!!

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s