statistika matematika 1

STATISTIKA MATEMATIKA I

Bab i
peluang

¢  Percobaan dan Ruang Sampel

¢  Kejadian

¢  Permutasi dan kombinasi

¢  Definisi Peluang

¢  Peluang Suatu Kejadian

¢  Peluang Bersyarat

¢  Partisi dan Peluang Partisi

¢  Teorema Bayes

Percobaan dan ruang sampel

¢  Percobaan?

¢  Ruang Sampel?

Kejadian

¢  Kejadian sederhana

¢  Kejadian majemuk

Operasi Pada Kejadian

  1. Irisan
  2. Gabungan
  3. Saling Lepas/Saling Terpisah
  4. Komplemen

Permutasi dan kombinasi

¢  Teorema

  1. Banyaknya permutasi n benda adalah n!
  2. Banyaknya permutasi dari n benda yang berlainan jika diambil r benda adalah

¢  Permutasi siklis

banyaknya permutasi siklis dari n benda yang berlainan adalah (n – 1)!

¢  Teorema

banyaknya permutasi yang berlainan dari n  benda jika n1 benda diantaranya berjenis pertama, n2 benda berjenis kedua, dst,nk benda berjenis k adalah

Definisi peluang

¢  Peluang?

Peluang suatu kejadian

¢  Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot dari semua titik sampel yang termasuk kejadian A. Sehingga 0 ≤ P(A) ≤ 1

¢  Bila suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil, dan bila sebanyak n macam hasil termasuk kejadian A, maka peluang kejadian A adalah P(A) = n/N

HUKUM PELUANG

—  Aturan Penjumlahan

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

AKIBAT:

  1. Jika 2 kejadian A dan B saling asing, maka P(A U B) = P(A) + P(B)
  2. Jika A1, A2, A3, …, An merupakan kejadian yang saling asing, maka

P(A1 U A2 U A3 U … U An) =P(A1)+ P(A2)+P( A3) +… + P(An)

  1. Jika A1, A2, A3, …, An  merupakan sekatan dari S, maka:

P(A1 U A2 U A3 U … U An) =P(A1)+ P(A2)+P( A3) +… + P(An)

CONTOH

  1. Peluang seorang mahasiswa lulus kuliah statistik matematika   dan peluangnya lulus kuliah biologi umum  . Jika peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah  . Tentukan peluang mahasiswa tersebut lulus dalam kedua mata kuliah tersebut!
  2. Berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 dalam pelambungan 2 buah dadu?

—  Bila A dan Ac dua kejadian yang saling berkomplemen maka:

P(Ac) = 1 – P(A)

Bukti????

Contoh:

Sebuah mata uang dilambungkan berturut-turut sebanyak 6 kali. Berapakah peluangnya muncul paling sedikit satu kali muka?

—  Peluang Bersyarat

Peluang terjadinya kejadian B, bila A telah terjadi disebut peluang B dengan syarat A, dilambangkan P(B\A)

Contoh:

Carilah peluang mendapatkan suatu kuadrat murni dalam percobaan pelambungan sebuah mata dadu, jika diketahui muncul mata dadu lebih besar atau sama dengan 4 dimana dadu diberati sedemikian hingga kemungkinan muncul mata dadu genap dua kali kemungkinan muncul mata dadu ganjil!

—  Jawab

S = {…..}

A= {…..}

B= {…..}

P(A) = ?

P(B)=?

A ∩ B =

P(A ∩ B) =

—  Sampai disini kita belum dapat menemukan P(B\A), untuk menemukannya pandanglah percobaan tersebut sebagai berikut:

Mata dadu yang muncul merupakan bilangan yang lebih dari 3. Pandang kejadian A sebagai ruang sampel yang baru. Kita akan menentukan peluang muncul kuadrat murni dari ruang sampel A tersebut.

S = A = {….}

(B\A) =?

Peluang nisbi B terhadap A = peluang bersyarat B dengan syarat A

P(B\A) = ??

—  Hubungan antara P(B\A), P(A ∩ B), P(A) dan P(B) adalah:

—  DEFINISI PELUANG BERSYARAT

Peluang terjadinya B jika A telah terjadi adalah:

—  Contoh

Misal S adalah lulusan SMA disebuah desa kecil, mereka dikelompokkan sebagai berikut:

BEKERJA TIDAK BEKERJA
LELAKI 460 140
PEREMPUAN 160 260

Desa tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seorang akan dipilih secara acak untuk mempropagadakannya ke kota atau desa lain. Jika ternyata yang terpilih adalah seorang laki-laki, berapakah peluang bahwa orang yang telah terpilih tersebut sudah bekerja?

—  Teorema

Bila A dan B mungkin terjadi bersama-sama dalam suatu percobaan maka:

P(A∩B) = P(A).P(B\A)

—  Teorema

Bila dalam suatu percobaan A1, A2, A3, … mungkin terjadi bersama-sama, maka:

P(A1∩ A2∩ A3∩ … ) = P(A1) P(A2\A1) P(A3\A1 ∩ A2) P(A4\A1 ∩ A2 ∩ A3) …

—  Contoh:

  1. Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong ke dua berisi3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya ke kantong ke dua. Berapa peluangnya sekarang mengambil bola hitam dari kantong ke dua?
  2. Tiga kartu diambil satu demi satu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (berisi 52). Cari peluang bahwa kejadian A1∩ A2∩ A3 terjadi, bila A1 kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah,  A2 kejadian kartu kedua 10 atau jack dan A3 kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3 tapi lebih kecil dari 7!

PARTISI

}  DEFINISI

Suatu partisi dari suatu himpunan A adalah himpunan {A1, A2, A3, …, An} dengan sifat-sifat:

  1. Aj ⊆ A, (j=1, 2, 3, …, n)

semua elemen anggota Aj menjadi anggota A (Aj subset A)

  1. Aj ∩ Ak = Φ (j = 1,2,3,..,n; k=1,2,3,…,n; j≠k)

(kejadian saling lepas)

  1. A1 U A2 U A3 U … U An = A

Jumlah seluruh subset sama dengan A

}  PELUANG PARTISI

Teorema:

Misalkan kejadian A1, A2, A3, …, An merupakan partisi ruang sampel S dengan P(Ai) ≠0 untuk i = 1, 2, 3, …, n, maka untuk setiap kejadian A anggota S:

P(A) = P(A1).P(A\A1)+ P(A2).P(A\A2)+ … +P(An).P(A\An)

Contoh:

Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3 peluang Pak Badu terpilih 0,5 sedangkan peluang Pak Cokro 0,2. Kalau Pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Berapakah peluang iuran akan naik?

}  ATURAN BAYES

Teorema:

Misalkan B1, B2, …, Bk, …, Bn merupakan himpunan kejadian yang merupakan sekatan dari ruang sampel S, P(Bi) ≠ 0, i =1,2,3,..,n

Misal A suatu kejadian dalam S dengan P(A) ≠0, maka:

Buktikan!!

}  Contoh

  1. Misal S adalah lulusan SMA di sebuah desa kecil, mereka dikelompokkan sbb:
Bekerja Tidak Bekerja
Laki-laki 460 40
Perempuan 140 260

Desa tersebut akan dijadikan daerah pariwisata, dan sekarang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakannya ke kota atau ke desa lain. Jika 36 dari status bekerja dan 12 dari status yang tidak bekerja adalah anggota koperasi, berapakah peluang yang terpilih dalam status bekerja jika diketahui bahwa yang terpilih tersebut adalah anggota koperasi?

  1. Tiga anggota suatu koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih adalah 0,2. Peluang pak Badu dan pak Cokro terpilih masing-masing 0,5 dan 0,3. Jika pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi 0,7. Jika Pak Badu yang terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi 0,5 sedangkan jika yang terpilih pak Cokro maka peluang kenaikan iuran koperasi 0,1. Seseorang ingin mendaftar menjadi anggota koperasi tetapi menundanya beberapa minggu kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik. Berapakah peluang pak Cokro terpilih?

Soal latihan

  1. Dari suatu daerah diketahui berdasarkan pengalaman masa lalu bahwa peluang memilih seorang dewasa di atas 40 tahun yang kena kanker 0,02. Bila peluang seorang dokter dengan tepat mendiagnosa seseorang yang kena kanker sebagai terserang kanker 0,78 dan peluangnya keliru mendiagnosa seseorang yang tidak kena kanker sebagai terserang kanker 0,06. Berapa peluangnya seseorang didiagnosa sebagai terserang kanker?
  2. Polisi merencanakan memantau batas kecepatan dengan menggunakan perangkap radar di 4 tempat yang berlainan di suatu kota. Radar di setiap tempat T1, T2, T3 dan T4 dipasang 40%, 30%, 20% dan 30% dari waktu sehari dan bila seseorang yang ngebut ke kantor berpeluang masing-masing 0,2; 0,1;0,5;0,2 melalui tiap tempat, berapakah peluang dia akan kena tilang?

Bab 2
peubah acak DAN DISTRIBUSI PELUANG

ž  Definisi:

peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh setiap titik dalam ruang sampel.

ž  Peubah acak disimbolkan dengan huruf kapital, misal X dan harganya disimbolkan x

ž  Contoh:

  1. Sebuah mata uang dilambungkan sebanyak tiga kali.

S = { . . . . .}

E merupakan kejadian dimana muncul muka sebanyak dua kali

E = { . . . . .}

Jika X merupakan peubah acak yang menyatakan banyak “muka” yang muncul, maka setiap titik sampel dalam E akan mempunyai harga 2.

Jika Y merupakan peubah acak yang menyatakan banyak “belakang” yang muncul, maka setiap titik sampel dalam E akan mempunyai harga 1.

  • Tiga orang petani: pak Ali, pak Budi dan pak Cokro menitipkan pecinya kepada seorang anak di pagi hari. Sore harinya anak tersebut mengembalikan peci itu kepada mereka. Jika pak Ali , pak Budi dan pak Cokro dalam urutan seperti itu dalam menerima peci dari si anak, maka tentukan semua urutan yang mungkin dalam menerima peci itu, kemudian cari nilai m dari peubah acak M yang menyatakan banyak urutan yang cocok!

Definisi:

Ruang sampel diskrit adalah suatu ruang sampel yang anggotanya berhingga banyaknya atau deretan anggota yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan bulat.

Peubah acak diskrit adalah peubah yang didefinisikan dalam ruang sampel diskrit

Ruang sampel kontinu adalah suatu ruang sampel yang anggotanya tidak berhingga.

Peubah acak kontinu adalah peubah yang didefinisikan dalam ruang sampel kontinu

ž  DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

Suatu peubah acak diskrit mendapat nilai dengan peluang tertentu.

Contoh:

Sebuah mata uang dilambungkan tiga kali, misal X adalah peubah acak yang menyatakan banyak “belakang” yang muncul. Jika tiap titik sampel diberi bobot yang sama, maka tentukan distribusi peluang peubah acak X!

Jawab:

S ={ . . . . . . }

ž  DEFINISI

Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang peubah acak diskrit atau distribusi diskrit dari peubah acak diskrit X, bila memenuhi:

ž  Contoh:

  1. tentukan distribusi peluang peubah acak X yang menyatakan “jumlah bilangan yang mungkin” bila dua buah dadu dilambungkan bersama-sama!
  2. Suatu pengiriman 8 komputer PC yang sama ke suatu toko mengandung 3 yang cacat. Bila suatu sekolah membeli 2 komputer ini secara acak, cari distribusi peluang banyaknya yang cacat!

ž  Definisi:

distribusi komulatif (F(x)) suatu peubah acak X dengan distribusi peluang f(x) adalah:

contoh:

jika X menyatakan banyaknya atau jumlah muka yang muncul jika sebuah mata uang dilambungkan 4 kali, tentukan distribusi peluang peubah acak X, distribusi komulatifnya kemudian dengan menggunakan F(x) perlihatkan bahwa f(2) = 3/8

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s