geometri

GEOMETRY  (1st meeting)

Pengertian Geometri

  1. Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsur dan relasi yang ada antara unsur tersebut.
  2. Geometri is the study of the relationships among points, lines, angle, surfaces, and solids

Karakteristik Geometri

Geometry is a mathematical system that uses logical reasoning, building upon known and accepted facts, to discover new properties

Geometry is a science in which not only “the answer” is important, but also how and why you arrived at that answer.

Beberapa istilah penting

Definisi

Suatu pernyataan yang menggambarkan atau menjelaskan sesuatu.

Contoh: Definisi Ruas Garis AB

Ruas garis AB adalah himpunan titik dari suatu garis yang terdiri atas titik-titik yang terletak antara titik A dan titik B.

Postulat

Statements assumed to be true without proof

Ex: The ruler placement postulate

Given two points P and Q of a line, the coordinate system can be choosen in such a way that the coordinate of P is zero and the coordinat of Q is positive.

Teorema

Statements proven on the basis of definitions, postulates, and previously proven theorems.

Ex: Basic ray definitions theorems

Congruence between segments is an equivalence relation.

Lemma

A Greek word meaning assumption. A lemma is a theorem useful as an intermediate step toward proving another, more basic theorem.

Akibat (Corollary)

Akibat-akibat dari pembuktian suatu teorema.

Logical Reasoning of Geometry

Aksioma dan Sistem Aksioma

Apa itu aksioma?

Dalam suatu struktur matematika disepakati adanya pernyataan pangkal, pernyataan pangkal inilah yang disebut dengan aksioma.

Selain dari pernyataan pangkal juga terdapat unsur pangkal atau unsur primitif (undifined term)

Contoh

Unsur pangkal dalam geometri:

titik, garis, bidang, ruang.

Titik (point)

A point is a place in space. It has no length, not any tickness. A point is represented with a dot that is labeled with a capital letter.

Garis (line)

A line is a set of points with length but no width.  A line represented with arrowheads on each end to indicate the line extends without end.

To name line, you can pick any two points on the line, or you can use lowercase letter.

Bidang Datar(surface)

Bidang merupakan kumpulan titik, yang mempunyai panjang dan lebar serta digambarkan sebagai permukaan datar halus dan tipis.

Ruang (space)

Ruang merupakan kumpulan titik yang mempunyai panjang, lebar dan tinggi.

Pernyataan pangkal (aksioma):

Melalui dua buah titik hanya dapat dibuat satu garis lurus.

 

Apa itu sistem aksioma?

Kumpulan dari beberapa aksioma disebut dengan sistem aksioma.

Syarat sesuatu disebut sistem aksioma:

  • Konsisten
  • Independen
  • Lengkap
  • Ekonomis

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “konsisten” bila pernyataan-pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak kontradiktif. Non-kontradiktif itu bukan hanya dalam makna pernyataannya saja, tetapi juga dalam hal istilah serta simbol yang digunakan.

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “independen” bila masing-masing pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak saling bergantung, artinya pernyataan atau aksioma yang satu harus tidak diturunkan atau diperoleh dari aksioma-aksioma yang lain.

Suatu sistem aksioma dikatakan “lengkap” bila setiap pernyataan yang diturunkan  dari sistem itu dapat dibuktikan kebenaran atau kesalahannya. (Tentu dalam lingkup logika dikotomis). Bila aksioma dalam suatu sistem aksiomatik tidak lengkap, maka tidak dapat diperoleh teorema-teorema. Misal salah satu aksioma dalam geometri Euclides dihilangkan, maka tidak akan diperoleh teorema-teorema dalam sistem tersebut.

 

Suatu sistem aksioma dikatakan memenuhi syarat “ekonomis”  bila simbol-simbol atau istilah-istilah yang digunakan tidak berlebihan (tidak redundan), selain itu juga pernyataan dalam kumpulan aksioma itu tidak ada yang memiliki makna sama.

Contoh:

Aksioma 1: Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genap.

Aksioma 2: Jumlah dua bilangan gasal adalah bilangan genap.

Aksioma 3: 1 + 7 = 8

Sistem aksioma di atas tidak independen, mengapa?

Aksioma 1: 2 * 6 = 4

Aksioma 2: 4 * 1 = 1

Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang sama.

Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 5

Sistem aksioma di atas tidak konsisten, mengapa?

Aksioma 1: 2 * 6 = 4

Aksioma 2: 4 * 1 = 1

Aksioma 3: Jumlah dua hal yang sama akan menghasilkan sesuatu yang sama.

Aksioma 4: (2 * 6) * (4 * 1) = 1

Aksioma di atas tidak ekonomis, mengapa?

Apakah bentuk di bawah ini membentuk sistem aksioma?

  1. a+b=p
  2. a+b+c+d=r
  3. c+d=q
  4. p+q=s

(a,b,c,d,p,q,r, dan s dalam semesta S

Pengetahuan Dasar

MEASURING DISTANCE

Postulate 1

Given any two different point, there is exactly one line that contains both of them.

Now, constructing a number line by assigning the real numbers to the point on a line!!!

Postulate 2 (the distance postulate)

To every pair of different points, there corresponds a unique positive real number.

Postulate 3 (the ruler postulate)

The points of a line can be placed correspondence with the real number in such a way that:

  • to  every point of the line there corresponds exactly one real number.
  • to every real number there corresponds exactly one point of the line.
  • The distance between two points is the absolute value of the difference of the corresponding numbers.

 

SELECTING AN INFINITE RULER

Postulate 4 (The ruler placement postulat)

Given two points P and Q of a line, the coordinate system can be chosen in such a way that the coordinate of P is zero and the coordinate of Q is positive.

Definition (Betweenness of points)

Given three points A, B, and C is between A and C if only if:

  • A, B, and C are on the same line.
  • AB + BC = AC

Theorem 1

Let A, B, and C be three points of a line, with coordinate x, y, and z, respectively. If x < y < z, then B is between A and C.

Theorem 2

Of three difference points of the same line, exactly one is between the other two.

 

Definition (Line Segments)

A set of points is a line segment if and only if the set contains two points and all the points between them.

Definition (congruent segments)

Two or more line segments are congruent if and only if they have the same length.

Theorem 3

Congruence between segments is an equivalence relation.

Definition (Ray)

Ray AB is the figure that contains A and every point of AB on the same side of A as B

Definition (opposite rays)

AB and AC are called opposite rays if and only if A is between B and C.

Theorem 4 (the point plotting theorem)

Let AB be a ray, and let x be a positive number. Then there is exactly one point P of AB such that AP = x.

Definition (mid points)

A point B is called the midpoints of AC if only if:

  • B is between A and C
  • AB = BC

Theorem 5

Every segments has exactly one midpoint.

Definition (bisect; bisector)

A points, line, segment, ray, or plane bisects a segment if and only if it intersects the segment at only segment’s midpoint.

Any figure that bisects AC is called a bisector of AC.

Soal Latihan

  1. Draw and label following:
  • Line l intersects AB at point X.
  • Points A, B, and C in plane E, and a point D not on the plane.
  • CD contained in plane E.
  1. Jika P = 6 dan R = 7, maka PR = ….
  2. |2 + (-8)| – |-3| = ….
  3. Jika AB = BC, apakah B titik tengah AC?
  4. B adalah titik tengah dari AC. B terletak pada EF. Apakah EF pembagi AB?
  5. Jika suatu koordinat dari titik tengah suatu segmen garis adalah -3 dan salah satu ujung dari segmen garis tersebut adalah 0, apakah koordinat dari titik ujung yang lain?

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s