himpunan

HIMPUNAN

  1. 1.        Pengertian himpunan

Himpunan adalah sekelompok benda dari unsur yang telah dibatasi atau terdefinisikan secara jelas dan memiliki sifat keterikatan tertentu. Yang dimaksud terdefinisikan secara jelas adalah bahwa benda atau objek yang diterangkan dapat dengan tegas dibedakan mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

1.1.   Sifat Unsur-unsur himpunan

Sifat keterikatan tertentu benda-benda didalam suatu himpunan disebut juga sifat himpunan, adapun sifat dari himpunan adalah

  1. Objek di dalam suatu himpunan bisa dibedakan antara obyek satu dengan yang lainnya, misalnya himpunan hewan dalam hutan, dim ana anggotanya bisa harimau, jerapah, gajah dan sebagainya.
  2. Unsur yang berada di dalam suatu himpunan dapat dibedakan dengan unsur yang tidak berada didalam ruangan.misalnya himpunan benda dalam aquarium bisa dibedakan dengan benda yang berada diluar aquarium, misalnya kursi yang ada diluar

1.2.   Ciri Ciri Himpunan

  1. Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan
  2. Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan
  3. Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan.

1.3.   Lambang Himpunan

Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ ) dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ).Himpunan selalu di beri nama dengan huruf kapital (huruf besar). Unsur-unsur yang termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan X adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, ditulis X = {bilangan prima kurang dari 20}

1.4.   Menyatakan Himpunan

Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan

  1. Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya atu persatu. Contohnya X bilangan kurang dari 10.ditulis A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9)

è Contoh 1:
Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar semua anggotanya.

B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15
J Jawab:
B = {4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

  1. Menggunakan notasi pembentukan himpunan,yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya B adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap. Ditulis B = {x|x adalah bilangan genap}

è Contoh 2:
Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan

C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10

J Jawab:
C = { x | -5 ≤  x < 10 , x Î B }

  1. Dengan menggunakan kata-kata yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}

è Contoh 3:
Nyatakan himpunan berikut dengan kata kata.
B adalah himpunan lima huruf konsonan yang pertama
J Jawab:
B = {lima huruf konsonan yang pertama}

1.5.   Anggota Himpunan

Anggota himpunan disebut juga elemen himpunan. Anggota atau elemen himpunan adalah semua unsur yang terdapat di dalam suatu himpunan. Anggota suatu himpunan ditulis dengan menggunakan simbol “”. Sedangkan yang bukan dilambangkan dengan“”. Contohnya salah satu anggota atau elemen kurang dari 5 adalah {1,2,3,4}.

è Contoh 4:

Anggota himpunan A =   adalah a, i, u, e, o dan b, c, d bukan anggota A. Dengan demikian penulisan di atas dapat dinyatakan dengan a  A, e  A, i  A, o  A, u  A.Tetapi b  A, c  A, dan d  A.

Himpunan B = .Jadi 2  B, 5  B, 7  B. Tetapi 1  B, 9  B. Dan bila anda menemukan suatu himpunan P =  berarti a  P dan  P.   anggota P yang berbentuk himpunan.

1.6.   Banyaknya Anggota Suatu Himpunan

Banyaknya anggota suatu himpunan dinamakan juga bilangan kardinal dan diberi lambang “n”. Jika A adalah suatu himpunan, maka banyaknya anggota dari himpunan A ditulis n(A).

è Contoh 3:

Berapakah bilangan kardinal dari himpunan di bawah ini?

A =

B =

C =

D =

J Jawab:

A = , maka kardinal A adalah n(A) = 6

B =  =  maka bilangan kardinal B adalah n(B) = 7

C = , berarti juga C = , maka bilangan kardinal C adalah n(C) = ~.

D = , berarti juga D = , maka bilangan kardinal D adalah n(D) = ~.

Himpunan C dan D adalah himpunan yang tidak dapat ditentukan banyak anggotanya. ”~” melambangkan bilangan kardinal tak terhingga.

1.7.   Himpunan Berhingga dan Tak Terhingga

 

  1. a.    Himpunan Berhingga (finite set)

Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(A) = a, a  bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah.

àContoh 4:

a. A =  karena n(A) = 0, 0  bilangan cacah.

b. B =  n(B) = 75, 75  bilangan cacah.

c. C =  n(C0 = 7, 7  bilangan cacah.

  1. b.    Himpunan Tak Berhingga (infinite set)

Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah.

è Contoh 5:

Q=

Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(Q) =∞.

è Contoh 6 :
Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut :

  • P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
  • Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
  • R = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }

J Jawab :

  • Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6.
  • Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.
  • Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga(∞).
  1. 2.        Himpunan Bilangan

2.1  Himpunan Kosong dan Nol

  1. a.      Himpunan Kosong

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan {    }, ¨, atau Æ.

Catatan:

Himpunan Kosong merupakan Himpunan Bagian dari setiap Himpunan

(lihat bahasan selanjutnya tentang Himpunan bagian)

è Contoh 7:

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ?

Tidak ada, jadi dapat disimpulkan bahwa himpunan D dan F merupakan himpunan kosong atau D = Æ dan F = Æ

  1. b.      Bilangan Nol

Berdasarkan definisi himpunan kosong, kita dapat menyatakan bahwa himpunan tidak kosong adalah suatu himpunan yang memiliki paling sedikit satu anggota.

Himpunan nol adalah suatu himpunan yang memiliki unsure, yaitu nol, sehingga bilangan kardinalnya adalah 1. Jadi, jika A = {0}, maka n(A) = 1.

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa himpunan kosong dan himpunan nol adalah berbeda. Jadi {     }  {0}

è Contoh 8 :

Tentukan bilangan-bilangan dari setiap himpunan berikut ini !

a.  Q = {x | 7x – 2 < 6x – 2, x  C}

Karena x < 0 dan x  C, maka pertidaksamaan itu hanya dipenuhi oleh bilangan cacah x = 0.

Jadi, Q = {0}, sehingga n (P) = 1

Penyelesaian :

7x – 2 < 6x – 2

7x – 6x < -2 + 2

x < 0

 

 

 

2.2  Himpunan yang Sama dan Himpunan yang Sederajat

  1. a.    Himpunan yang Sama

Definisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh :

A = { a, i, u, e, o } ; B = { u, a, i, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,i,u,e, dan o  maka himpunan A = B

Contoh 9 :

Selidikilah setiap pasangan himpunan berikut ini !

a.     A = {s, i, a, n, g} dan B = {s, i, n, g, a}

b.     C = {huruf vocal dalam abjad latin} dan D = {a, i, u, e, o}

Penyelesaian :

a.     Perhatikan bahwa setiap anggota di A sama dengan anggota di B. Jadi A = B

b.     C = {a, i, u, e, o} dan D = {a, i, u, e, o}. Jadi C = D

  1. b.    Himpunan Sederajat

Definisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama

Himpunan sederajat dinotasikan “~”. Dua himpunan A dan B disebut sederajat  “A~B” jika bilangan kardinal himpunan B atau n(A) = n(B).

Dengan kata lain jika setiap anggota dari A dapat dipasangkan satu-satu ke anggota B, dan sebaliknya, atau antara anggota A dan B dapat dikorespondensikan satu-satu.

Misalnya.

Jika A =  dan B = , maka A ~ B, dan jelas n(A) = n(B) yaitu 4.

Diagram Vennnya

A                                    B

A~ B

 

   A~B

è Contoh 10 :

Selidikilah keekuivalenan setiap pasangan himpunan berikut ini !

a.     A = {x | 1 < x < 5, x  A} dan B = {x | 2 < x < 5, x bilangan prima}

b.     P = {x, y} dan Q = himpunan warna bendera Indonesia.

J Penyelesaian :

a.     1 < x < 5, dengan x  A dipenuhi oleh x = 2, x = 3, dan x = 4

A = {2, 3, 4} à n (A) = 3

2 < x < 5, dengan x bilangan prima dipenuhi oleh x = 2, x = 3, dan          x = 5

B = {2,3,5} à n (B) = 3

Karena n (A) = n (B) = 3, maka A ~ B

b.     P = {x,y} à n (P) = 2

Q = {merah, putih} à n (Q) = 2

Karena n (P) = n (Q) = 2, maka P ~ Q

2.3  Himpunan Bagian dan Banyak Himpunan Bagian suatu Himpunan

  1. a.         Himpunan Bagian

Definisi:

A himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan dengan A ÌB

 

è Contoh 11:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }  ;  B = { 1, 2, 3, 4 }  ;  C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

J Penyelesaian

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

  1. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi  B Ì A
  2. Karena ada anggota himpunan C yaitu 8 dan 9 tidak terdapat di dalam himpunan A maka himpunan C bukan himpunan bagian dari himpunan A, jadi C Ë A

 

  1. b.         Banyaknya Himpunan Bagian suatu Himpunan

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah  sebanyak 2n(A)

è Contoh 12:

Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut :

  1. A = { a, b, c }
  2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
  3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

J Jawab:

  1. n(A) = 3  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8
  2. n(B) = 5  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
  3. n(C) = 7  maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari C adalah 27 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

2.4  Himpunan Semesta

Definisi :

Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan

Perhatikan bahwa himpunan {1}, {2,3,5,7,…}, dan {4,6,8,9,…} adalah himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan asli A = {1,2,3, ….}. Kita katakan himpunan bilangan asli itu sebagai himpunan semesta dari himpunan-himpunan {1}, {2,3,5,…} dan {4,6,8,…}.

Himpunan semesta (semesta pembicaraan atau himpunan universum), diberi lambang dengan huruf S, adalah himpunan yang memuat semua himpunan bagian dari suatu himpunan yang tetap. Dengan lain perkataan himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua himpunan yang dibicarakan.

è Contoh 13:

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}

B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 }

C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

D = { 2,3,5,7,11 }

E = { 0, 2, 4, 6 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E

1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A,B, dan C?

2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A,B, dan C ?

J Penyelesaian:

Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, oleh karena itu Himpunan B dan C merupakan Himpunan semesta dari himpunan E, akan tetapi angka 0 di Himpunan E tidak ada di dalam himpunan A, oleh karena itu Himpunan A bukan himpunan semesta dari himpunan E

  1. 3.        Diagram Venn

 

3.1  Menyatakan Himpunan dalam Diagram Venn

Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram yang dinamakan Diagram Venn. pada diagram venn, himpunan semesta digambarkan sebagai daerah tertutup yang dibatasi oleh suatu pesergi panjang, sedangkan himpunan lainnya sebagai daerah yang dibatasi oleh suatu lingkaran tertutup. Semua anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah-noktah seperti tampak pada gambar 6.1 dan 6.2.

è Contoh 14 :

Gambarlah dengan Venn untuk himpunan-himpunan berikut ini !

  1. S =  {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} dan A =  {2,3,5,7}
  2. S =  {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} dan A =  {2,3,5,7} dan B =  {2,3,8}

Penyelesaian : 

.6

.4

.1

S

a.                                                                             b.

2.2     Himpunan Lepas, Himpunan Berpotongan, dan Himpunan Bagian

(a)                                                   (b)                                             (c)

Pada gambar (a) : Himpunan A dan B dikatakan lepas (A//B) jika himpunan A dan B tidak memiliki persekutuan anggota persekutuan.

Pada gambar (b) : Himpunan A dan B berpotongan (A  B) jika A dan B memiliki anggota persekutuan dan masing-masng juga memiliki anggota yang bukan persekutuan.

Pada gambar (c) : HJimpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B (AB) setiap anggota A termasuk anggota B).

è Contoh 15 :

Diberikan S = {0, 1, 2, ……, 9}. tunjukkan dengan menggunakan diagram Venn setiap pasangan himpunan berikut ini.

  1. A = {1, 2, 3, 4} dan B = {6, 7, 8}
  2. P = {0, 1, 2, 3} dan Q = {2, 3, 4, 6}
  3. X = {7, 8, 9} dan Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9}

Manakah pasangan himpunan yang lepas, berpotongan dan himpunan bagian ?

Penyelesaian :

(a),himpunan A dan B saling lepas

(b).himpunan P dan Q berpotongan dengan anggota-anggota persekutuan adalah 2 dan 3

(c),himpunan X merupakan himpunan bagian dari himpunan Y.

2.3  Operasi pada Himpunan

a.  Komplemen

Jika A adalah suatu himpunan, maka komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S, di tulis Ac dan Ai didefinisikan sebagai himpunan semua anggota yang terletak di luar A.

Pada gambar 6.5, himpunan komplemen A, ditulis AC adalah daerah yang diarsir (raster), sedangkan himpunan A adalah daerah yang tidak diarsir.

è Contoh 16:

Dalam semesta himpunan S = {1, 2, 3, …., 10}, diketahui

P = Himpunan semesta bilangan genap

Q = Himpunan bilangan prima, dan

R = Himpunan bilangan kelipatan 4.

Tentuka komplemen himpunan P, Q dan R

J Penyelesaian :

Karena P = {2, 4, 6, 8, 10} maka PC = {1, 3, 5, 7, 9}

Karena Q = {2, 3, 5, 7} maka QC = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

Karena R = (4, 8} maka RC = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10}

b.  Irisan

Himpunan Mini dinamakan irisan A dan B, kita tulis dengan notasi M = AB yang dibaca “M adalah A irisan B”.

Pada gambar 6.6, ditunjukkan diagram venn yang memperlihatkan irisan  himpunan A dan B, yaitu bagian yang diarsir ATAU M = AB. Unsur-unsur pada AB adalah unsure per sekutua dari kedua himpunan tersebut.

è Contoh 17 :

Diberikan himpunan semesta S = {1, 2, 3, …., 9}. Tunjukkan irisan setiap pasangan himpunan berikut ini menggunakan diagram venn, kemudia tuliskan irisan itu.

1)        A = { 1, 2, 3} dan B = {2, 3, 4, 5}

2)        A = {3, 4, 5, 6} dan B = {7, 8, 9}

3)        A = {4, 5, 6} dan B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

J Penyelesaian :

  1. AB = {2, 3}

Kesimpulan :

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan berpotongan,

maka AB = {x | x A dan xB}

  1. AB = Ø

Kesimpulan :

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan saling lepas, maka AB = Ø. kebalikan :

Jika AB = Ø, maka A dan B merupakan himpunan-himpunan saling lepas (energi).

c.  Gabungan

S

Himpunan N dinamakan gabungan (union) dari A dan B, kita ditulis       N = AB dibaca “N adalah Gabungan A dan B”, Dalam diagram Venn, AB ditunjukkan pada daerah yang diarsir.

                                                                                                                                               

è Contoh 18

Diberikan himpunan semesta S = {1, 2, 3, …., 9}. tentukan gabungan setiap pasangan himpunan berikut!

1)    A = {2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}

2)    A = {1, 3, 5, 7} dan B = {2, 4, 6, 8}

3)    A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

4)    A = {2, 4, 6} dan B = {2, 4, 6}

  1. d.    Selisih

Selisih himpunan A dan himpunan B, ditulis dengan lambang A – B adalah himpunan semua anggota yang termasuk di A dan tidak termasuk di B.

A – B = {x | x  A dan x  B}

Pada gambar (a), daerah yang diarsir menunjukkan A – B

Pada gambar (b), daerah yang diarsir menunjukkan B – A

(a)                                                 (b)

Pada definisi selisih dua himpunan di atas x  B berarti x  Bc, maka kita dapat menuliskan

A – B = {x | x  A dan x  Bc}

Hal ini mengakibatkan     A – B = A  Bc

Kemudian dengan mengganti peranan B dengan A dan sebaliknya kita memperoleh :

B – A = {x | x  B dan x  A}

= {x | x  B dan x  Ac}

= B  Ac

è Contoh 19:

Diberikan S = {x | x bilangan asli kurang dari 11}, A = {x | 0 < x < 6, x bilangan cacah} dan B = {x | x bilangan asli lebih dari 3 kurang dari 9}. Tentukan himpunan-himpunan A – B dan B – A, kemudian hitung bilangan-bilangan kardinalnya !

J Penyelesaian :

S = {1,2,3, …, 10}

A = {1,2,3,4,5,6}

B = {4,5,6,7,8}

A – B = {1,2,3} à n (A – B) = 3

B – A = {7,8} à n (B – A) = 2

2.4  Sifat-sifat operasi himpunan

  1. Sifat Himpunan Bagian

1).      Jika A dan B adalah himpunan dengan A  B, maka

a.         Bc  Ac                      c.         A  B = B

b.         A  B = A     d.         A – B =

2).      Jika A  B dan B  C, maka A  C

3).      Jika A  C dan A  B, maka A  (B  C)

  1. Sifat Himpunan Saling Lepas

Jika A dan B adalah himpunan-himpunan saling lepas, maka

a.       A  B =                              d.         A – B = A

b.       A  Bc                                   e.         B – A = B

c.       B  Ac                                   f.          n (A  B) = n (A) + n (B)

  1. Sifat Aljabar Himpunan
No. Nama Sifat Gabungan Irisan
1. Sifat idempotent A  A = A A  A = A
2. Sifat komutatif A  B = B  A A  B = B  A
3. Sifat asosiatif A  (BC) =(AB)  C A  (BC) =(A  B)  C
4. Sifat distributif A  (BC) =(AB)  (AC) A  (BC) =(A  B)  (AC)
5. Sifat penyerapan A  (AB) = A A  (AB) = A

6.    Sifat Identitas

a.       A  S = S                  c.         A   = A

b.       A  S = A                 d.         A   = A

7.    Sifat Komplemen

a.       A  Ac = S

b.       A  Ac =

c.       (Ac)c = A

d.      c = S

e.       Sc =

8.    Hubungan De Morgan

a.       (A  B)c = Ac  Bc

b.       (A  B)c = Ac  Bc

LATIH KOMPETENSI

I. Pilihan Ganda

1.   Diketahui  D  =  Himpunan  bilangan  cacah yang kurang dari 20. Berapakah banyaknya anggota dari himpunan D tersebut?

a.   n(D)=17            b.   n(D)=18                c.   n(D)=19                 d.   n(D)=20

2.   Himpunan bilangan prima antara 10 dan 20 adalah..

a.   P={11,13,17,19}

b.   P={10,11,13,15,17,19,20}

c.   P={12,14,16,18}

d.   P={11,13,15,17,19}

3. Diketahui himpunan P adalah kumpulan bilangan prima antara 1 sampai 20. Notasi pembentuk himpunan dari himpunan diatas adalah..

a.   P={x | x < 1, x > 20. x € Bil. Prima}

b.   P={x | x Bil. Prima antara 1 dan 20}

c.   P={x | x > 1, x > 20. x € Bil. Prima}

d.   P={x | 1 < x < 20. x € Bil. Prima}

4. Diketahui  H =  {x | 1<x<15,  x €  bilangan genap} Berapakah banyaknya himpunan bagian dari himpunan H ?

a.   16                    b.   32              c.   64              d.128

5. Jika  diketahui  himpunan  M={3,6,9,12,15} dan N={1,3,5,7,9,11,13}. Maka M ∩ N adalah..

a.   M ∩ N = {3,9}

b.   M ∩ N = {1,3,9}

c.   M ∩ N = {3,5,9,12}

d.   M ∩ N = {9,11,12,15}

6. Diketahui      K={faktor dari  6}  dan L={bilangan  cacah  kurang  dari  6}

Tentukanlah (K U L)

a.   (K U L)={0,1,2}

b.   (K U L)={0,1,2,3}

c.   (K U L)={0,1,2,3,4,5}

d.   (K U L)={0,1,2,3,4,5,6}

7. Dalam   suatu   kelas   yang  terdiri   atas  40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain futsal, 23 siswa gemar bernyanyi, dan 11 siswa  gemar      kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak menyukai kedua-duanya!

a.   4 siswa             b.   8 siswa      c.   12 siswa    d.   13 siswa

8. Dari  sekelompok  anak,  diperoleh  data  23 orang suka makan bakso dan mi ayam, 45 orang suka makan bakso, 34 orang suka makan mi ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya. Tentukan banyaknya anak dalam kelompok tersebut!

a.   108 anak          b.   82 anak     c.   72 anak     d.   62 anak

9. Dari 40 siswa dalam suatu kelas, terdapat 20 siswa  gemar  pelajaran  olah  raga  dan  26 siswa  gemar pelajaran  musik. Jika 2 siswa tidak  gemar dengan kedua pelajaran tersebut, tentukan banyaknya siswa yang gemar pelajaran olah raga dan musik.

a.   8 siswa             b.   16 siswa                c.   32 siswa                d.   46 siswa

10. X={ x | 1< x < 20. x € Bil. Prima}dan Y= {x| 1< x < 20. x € Bil. Ganjil}. Tentukanlah n(X ∩ Y) !

a.   7                        b.   6                            c.   5                            d.   4

II. Essay

  1. Dalam sebuah kelas terdapat 17 siswa gemar matematika, 15 siswa gemar fisika, 8 siswa gemar keduanya. Berapa banyak siswa dalam kelas?
  2. Diagram Venn dibawah ini menunjukkan banyak siswa yang mengikuti ekstra kurikuler basket dan voli dalam sebuah kelas. Banyak siswa yang tidak gemar basket adalah . . .
  1. Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes matematika dan bahasa. Dari 180 peserta terdapat 103 orang dinyatakan lulus tes matematika dan 142 orang lulus tes bahasa. Banyak siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa ada . . .
  2. Dari 40 orang anak, ternyata 24 anak gemar minum teh, 18 anak gemar minum  kopi, 5 anak tidak gemar minum keduanya Banyaknya anak yang gemar keduanya adalah . . .
  3. P = { faktor dari 10 }

Q = { tiga bilangan prima pertama }

P È Q = . . . .

 


 

J PENYELESAIAN

  1. Pilihan Ganda
    1. D                               6.  D
    2. A                               7.  A
    3. D                               8.  D
    4. D                               9.  A
    5. A                               10. A
  2. Essay
  3. n(M) = 17 orang

n(F)  = 15 orang

n(M Ç F ) = 8 orang

n( M È F ) = n(M) + n(F) – n(M Ç F )

= 17 + 15 – 8

= 32 – 8

= 24 orang

  1. Yang tidak gemar basket = 12 + 7 = 19
  1. n(S)  =  180 orang

n(M)  = 103 orang

n(B)  =  142 orang

n(M È B ) = x orang

n(S) = n( M È B ) = n(M) + n(B) – n( MÇB)

180   = 103 + 142 –  X

X    = 245 – 180  =  65

Jadi yang lulus adalah 65 orang

  1. Jumlah anak       =  40  orang

Teh                     =  24  orang

Kopi                    =  18  orang

Teh dan Kopi      =    x  orang

Tidak keduanya  =     5  orang

(24 + 18 ) –  x      =  40  –  5

42 –   x     =  35

x     =  42  –  35  =  7

Yang gemar keduanya adalah 7 anak.

  1. P = { 1, 2, 5, 10 }

Q = { 2, 3, 5 },

maka :

P È Q  = { 1, 2, 3, 5, 10 }

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s